Gautier Capuçon wordt 3 september 1981 geboren in Chambéru, wat ligt in het zuidoosten van Frankrijk. Gautier koestert een grote liefde voor kamermuziek.
Hij is de jongste van drie broers en zussen. Zijn broer is ook werkzaam in de muziekbranche, hij is de violist Renaud Capuçon. Al op jonge leeftijd komt zijn muzikale talent al naar boven. Wanneer Gautier vijf jaren oud is leert hij al cello spelen.

Zijn muzikale opleiding volgt hij in zijn geboorteplaats Chambéry aan de zogeheten Ecole Nationale de Musique de Chambéry. Daar slaagt hij met eerste prijzen in cello en in piano. In Parijs studeert hij cello met Annie Cochet-Zakine. Deze hoort over de getalenteerde Gautier en zorgt ervoor dat meegaat naar het Conservatoire Supérieur de Paris. In 1997 rond hij daar zijn opleiding af om verder te studeren aan de Conservatoire National Supérieur de Musique de Paris. Drie jaren later is hij ook met deze studie klaar. Als laatste gaat hij dan nog studeren aan de University of Music and Performing Arts, Vienna.

In februari 2008 maakt Gautier zijn debuut onder leiding van Leonard Slatkin met het National Symphony Orchestra uit Washington DC.

Gautier Capuçon heeft al verschillende prijzen in de wacht weten te slepen. Zo wint hij in 1998 de eerste prijs tijdens de Maurice Ravel International Academy of Music competition, wordt hij derde tijdens de derde Adam International Cello Competition in 1999 en hij sleept de eerste prijs in de wacht tijdens de André Navarra International Cello Competition in datzelfde jaar.

In 2001 wordt Gautier uitgeroepen tot Jong Talent van het Jaar tijdens de 'Victoires de la musique'. In 2004 ontvangt hij een award van Borletti-Buitoni Trust en wint hij de Echo Klassik Prize.